Conceito de Taylor e Maclaurin Series

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Série Maclaurin no conceito de série numérica

Antes de chegar ao ponto em que são as séries taylor e maclaurin, você precisa entender claramente quais são as séries numéricas, assim como precisar de informações sobre as séries de potência e sua área de convergência.

Definições básicas antes de chegar à série Maclaurin

A solução de um problema apresentado em termos matemáticos, por exemplo, em uma combinação de várias funções, suas derivadas e integrais, deve levar ao número, que é mais frequentemente a resposta final. Para fazer isso, existem diferentes métodos desenvolvidos em diferentes áreas da matemática.

A teoria das séries, incluindo a série maclaurin, é a seção da matemática, que permite resolver qualquer problema corretamente colocado com precisão suficiente para uso prático.

Mesmo que alguns dos conceitos mais refinados de análise matemática parecessem fora de sintonia com a teoria das séries, eles foram imediatamente aplicados à série, que serviu como uma ferramenta para testar a relevância desses conceitos. Essa situação também persiste hoje.

Se os membros da série forem:

  • Os números, a série é chamada numérica.
  • Os números do mesmo sinal, em seguida, a série é chamada de série de sinais constantes.
  • O número de sinais diferentes, então a série é chamada de séries alternadas.
  • Números positivos, então a série é chamada de números de série positivos.
  • Os números, que são estritamente alternados, então a série é chamada de alternância.
  • As funções, em seguida, a série é chamada funcional.
  • Os graus, em seguida, a série é chamada de série de energia.
  • As funções trigonométricas, em seguida, a série é chamada trigonométrica.

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A definição da série de energia

As séries funcionais da forma a0, a1, a2,… não dependem da variável z e são chamadas de séries de potência que não dependem da variável z. Os números a0, a1, a2,… são os coeficientes desta série.

Como é geralmente claro, qual variável define a série funcional como a série de energia, continuaremos falando simplesmente sobre séries de potência.

Como no caso de séries funcionais gerais, podemos falar sobre séries de potência reais e complexas.

Se a variável z puder pegar os valores complexos (e reais), e os coeficientes da série forem números complexos, então a série de potência é chamada de complexa.

Se os valores da variável z só puderem ser reais, e os coeficientes da série também forem números reais, então a série de potência é chamada real.

O caso intermediário quando o valor da variável z deve ser real e os coeficientes da série podem ser complexos (an = bn + icn) não são de grande interesse. Geralmente, neste caso, todas as informações sobre as seguintes séries: (b0 + ic0) + (b1 + ic1) z +… + (bn + icn) zn +… podem ser obtidas considerando separadamente duas séries reais: b0 + b1z + … + Bnzn +… e c0 + c1z +… + cnzn +…

Real Power Series e do Intervalo de Convergência

Se a série a0 + a1x +… + anxn +… tiver coeficientes reais e a variável x tiver apenas valores reais, então o teorema de Abel leva à seguinte declaração:

Existe um R não negativo que se x> R ou x <–R série diverge, e se –R

O intervalo de valores da variável x que satisfazem a relação –R

A constante convergência da série no círculo de sua convergência

Teorema: a série de potências converge uniformemente em qualquer círculo fechado contido no seu círculo de convergência. Este formato de tese pode ser comprovado pelo seguinte: digamos que a0 + a1z +… + anzn +… é a série de potência e R é o raio de convergência. Pegue um círculo vicioso arbitrário que se encontre dentro do círculo de convergência. Obviamente, podemos supor que o centro do círculo menor também está em 0. Mais precisamente, cada círculo menor pode ser tomado pelo círculo com o centro em 0 e que está inteiramente contido no círculo de convergência. A convergência uniforme da série no círculo levado também leva à convergência uniforme em um círculo menor.

Expansão de funções na série de energia

De acordo com o modelo de estudo de caso, a soma de qualquer série de poder convergente é uma função definida dentro do círculo da convergência da série (e talvez até mesmo em alguns pontos de seu limite).

A este respeito, existem dois problemas. Em primeiro lugar, com a série dada é possível procurar a função que é igual à quantidade de série no lugar da sua convergência. Esse problema é chamado de soma de séries convergentes. Em segundo lugar, com a série dada, é possível procurar as séries convergentes de um tipo particular, cuja quantidade na área da convergência seria igual a uma determinada função. Esse problema é chamado de expansão de funções em uma série.

Juntamente com as séries de potência em relação à variável z, ou seja, tipos de séries como a0 + a1z +… + anzn +… será conveniente considerar a série de potência no que diz respeito à variável z – a como a0 + a1 (z – a) +… + an (z – a) n +…

Claramente, a substituição do y = z – a, o segundo da série é convertida na primeira série. Portanto, se o círculo de convergência da primeira série consiste em todos os pontos para os quais | z | <= R, então pelas mesmas razões, o círculo de convergência da segunda série consiste em todos os y pontos, para os quais | y | < = R ie, | z – a | <= R. Em outras palavras, no plano complexo, onde a variável independente z é representada, o círculo de convergência da série tem o mesmo raio R que o outro círculo de convergência da série, e seu centro está localizado no ponto a. / p> Especificamente, se as duas séries são reais, então o intervalo de convergência de uma série é obtido deslocando o intervalo da convergência das outras séries para um ponto à direita (obviamente, se a <0 é a mudança para a esquerda).

As séries Taylor e Maclaurin

Se a função f (x) tem em um determinado segmento as derivadas de todas as ordens (já que estão todas presentes, cada uma delas será diferenciável e portanto contínua), então no paper da ciência podemos escrever a fórmula de Taylor para qualquer valor de n.

A série de Taylor é a expansão da função na quantidade infinita de funções de energia.

As séries de Taylor receberam o nome do matemático britânico Taylor, embora a série de Taylor fosse conhecida muito antes das publicações de Taylor. Foi usado no século XVII por Gregory e Newton.

Termos da Aplicação da Série Taylor:

  • Para que a função f (x) seja expandida em uma série de Taylor no intervalo (–R; R) é necessário e suficiente que o membro residual na fórmula de Taylor para esta função tenda a zero como k → ∞ no intervalo de menções (–R; R).
  • É necessário que as derivadas estejam presentes para a função em um ponto, na vizinhança do qual vamos construir uma série de Taylor.

Do ponto de vista matemático, o comprimento infinito de tal série não é um obstáculo para sua consideração e outras transformações analíticas. Do ponto de vista dos cálculos reais, a série deve ser limitada a um número finito de comprimentos. Em outras palavras, é necessário limitar o índice superior da série de Taylor com algum valor finito de N.

As qualidades da série de Taylor:

  • Se f é uma função analítica, então sua série de Taylor (série maclaurin) em qualquer ponto da área f converge para f na vizinhança de a.
  • Se houver funções infinitamente diferenciáveis, então a série de Taylor (série maclaurin), que converge, mas ao mesmo tempo difere da função em qualquer vizinhança de um.

As séries de Taylor são usadas para aproximação de funções com polinômios (aproximação é o método científico, que implica a substituição de alguns objetos por outros objetos, em um sentido ou outro os objetos estão próximos dos de origem, mas são muito mais simples) . Em particular, as séries de Taylor são aplicadas para a linearização (linear), um método de representação aproximada dos sistemas não-lineares fechados, no qual o estudo do sistema não linear é substituído pela análise do sistema linear, no sentido de equivalente a o original. As equações ocorrem pela expansão da série de Taylor e cortam todos os membros da primeira ordem acima.

Assim, quase qualquer função pode ser representada como um polinômio com uma precisão determinada.

A definição da série de Maclaurin

As séries de Maclaurin receberam o nome do principal matemático inglês Colin Maclaurin, professor da Universidade de Edimburgo, um seguidor de Newton, com quem ele estava pessoalmente familiarizado. Em seu famoso trabalho, Maclaurin falou sobre a série maclaurin. No entanto, a série maclaurin não foi uma nova descoberta, como foi mencionado por Brook Taylor. Mas, mesmo antes, a série maclaurin foi descoberta por Johann Bernoulli e, de fato, Leibniz também sabia disso. Maclaurin reconheceu que ele estava totalmente obrigado a Taylor pela série maclaurin.

A série Maclaurin é uma série de Taylor na vizinhança de um ponto a = 0. A derivação clássica de coeficientes de uma série de potência na forma da série Maclaurin é produzida por diferenciação analítica de uma série de potências gravada de uma forma geral.

Acontece que a maioria das funções matemáticas praticamente encontradas pode ser representada com alguma precisão na vizinhança de um ponto na forma de séries de potência (série maclaurin), contendo graus de uma variável em uma ordem crescente. Por exemplo, nas proximidades de um ponto x = 0.

Ao usar a chamada série maclaurin, a função mista, contendo, digamos, funções algébricas, trigonométricas e exponenciais pode ser expressa como funções puramente algébricas. Com a série maclaurin, é possível implementar rapidamente diferenciação e integração.

A série Maclaurin é um caso especial da série de Taylor.

Os Termos da Série Maclaurin Use:

  • Para que a função f (x) seja expandida em uma série Maclaurin no intervalo (–R; R) é necessário e suficiente que os membros residuais na fórmula Maclaurin para esta função tenda a zero se k → ∞ no intervalo especificado (–R; R).
  • É necessário que as derivadas estejam presentes para a função no ponto a = 0, nas proximidades das quais vamos construir uma série Maclaurin.

Integração numérica usando uma série Maclaurin

Os valores de muitas integrais não podem ser encontrados usando métodos analíticos. Você já deve saber sobre o cálculo de tais integrais usando a fórmula trapezoidal e a fórmula de Simpson. Outro método para encontrar o valor numérico de uma integral definida é a expressão da função na forma da série Maclaurin, seguida pela integração alternada de cada membro.

Como regra geral, muitas das funções são aproximadas pela série Maclaurin que de alguma forma simplifica o cálculo das derivadas dessas funções e permite obter formas mais compactas de séries de gravação. Um exemplo notável é a aproximação da função exponencial pela série Maclaurin.

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